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I have not seen a copy of the original article. This transcript was kindly provided by Juan Gimeno.

The translation was made through Microsoft Translate and edited slightly in places.

The first paragraph seems to be the origin of the idea that Flapping Birds were once folded by Japanese conjurors from prefolded, then flattened sheets. It is not clear whether this is an imaginative embroidery or information from some as yet undiscovered independent source.

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Transcript in the original Spanish

Antes que Unamuno, nadie tomó nunca en serio las pajaritas de papel. Hacerlas fue siempre juego y habilidad que fácilmente se aprendía. Vieja diversión educativa para los niños, acaso originaria del Extremo Oriente, si no del Egipto faraónico. Un día, prestidigitadores japoneses maravillaron a los públicos teatrales de Europa con una encantadora novedad en la historia insignificante de este juego. Mostraban un cuadrado de papel muy blanco, en plena luz, y luego, ligeramente, lo convertían en un pájaro que sabía agitar las alas. Era que el cuadrado de papel tenía ya hechos los dobleces necesarios para formar la pajarita y para el alígero; la misma luz excesiva servía para ocultar la marca de los dobleces, y con el manipuleo hábil parecía el pájaro salir inmediatamente del papel blanco.

Pero con esto, la cándida pajarita, equivalente por su hechura matemática a los vulgares barquitos del mismo material, no tomó importancia mayor. Hasta que Unamuno, en su libro Amor y pedagogía, la contempló con ojos de ciencia exacta y con meditación metafísica. Señaló sus perfecciones y sus armonías a la admiración de los estudiosos. Demostró sobre diagramas, cómo la pajarita, mirada en proyección, cubre un área equivalente a la mitad del cuadrado en que se inscribe, porque toma ocho triángulos de los dieciséis que comprende, “lo mismo que el área de cada uno de los triángulos de que consta es la mitad del área de un cuadrado”. Y cómo el cuadrado originario ha de ser “lo más perfectamente cuadrado que quepa”, sin que sirva ningún otro cuadrilátero, porque si no es cuadrado, sólo saldría de su Plegado un monstruo. Otras observaciones: las líneas que van de la coronilla al pico y de la rodilla al pie, forman lados, simétricamente interrumpidas, del cuadrado, y además, la figura se sostiene sobre tres puntos de un triángulo isósceles, “dado que de los extremos de las patas al punto de apoyo de la cola hay la misma distancia”.

La meditación de Unamuno tuvo luego una audacia genial: alegar las matemáticas de la pajarita como argumento contra la teoría del transformismo darwiniano. Como la pajarita no puede salir de otra cosa, y de su cuadrado saca su perfección, así una especie no pudo proceder de otra. Por último, el maestro de Salamanca aseguró que la perfección y las armonías geométricas de la pajarita eran fundamento posible para una futura verdadera ciencia.

Nadie atendió su profecía. Y a sus observaciones sutiles sólo se atribuyó valor de un ingenioso devaneo, sin consecuencias para la investigación científica. Dejaban la pajarita en su punto muerto y su condición trivial de juguete.

LOS ANIMALES GEOMÉTRICOS DEL DOCTOR SOLÓRZANO

Esa curiosa profecía, sin embargo, era presentimiento. Sobre el ave matemática de papel acaba de nacer en nuestro país una nueva actividad científica. El Dr. Vicente Solórzano, sabio desconocido, ha logrado emparentar la pajarita, no sólo con las demás aves, con la clase íntegra, sino también, grandiosamente, con todos los animales de la creación.

En su casa he visto salir, de un baúl, las especies más conocidas. Animales obtenidos por él, con rigurosa verdad morfológica, mediante simples dobleces de un papel. Dobleces que nunca son ingeniosos ni arbitrarios, sino impuestos por geometría, exactamente como las líneas con que se construye un polígono regular. Cada animal resulta al cabo de una serie más o menos numerosa de polígonos convexos y cóncavos. Pero si hay una equivocación, en la sucesión irreemplazable de los dobleces necesarios, entonces sale un monstruo, como el cuadrilátero en que se inscribe la esquemática pajarita sino es un cuadrado.

Cada una de estas figuras zoomorfas es la solución de un verdadero problema geométrico.

Será preciso explorar a fondo el sistema, la ciencia iniciada por el Dr. Solórzano. Acaso pueda descubrirse una conexión entre sus animales de papel y la formación de los seres en la realidad misteriosa de la vida. Esta es una primera noticia del singular acontecimiento.

LOS TEOREMAS DE LA FIGURAS ZOOMORFAS

Sobre una mesa va derramando las figuras su creador geómetra. Pájaros de familias diversas, antropoides, reptiles, murciélagos, marsupiales, equinos. Una liebre quedó parada, las patas tendidas en el simulacro de la carrera. Sorprenden los cóndores por las pocas aristas del cuerpo, bellamente poligonal. El murciélago es más impresionante, más nocturno que los vampiros vivientes. Y hay osos blancos cuyo carácter típico parece realzado y explicado por simplificación anatómica.

Todas estas creaciones de papel –cosa extraña-comunican una idea más clara de armonía genérica y estructura particular que los diseños instructivos, prolijamente detallados en los volúmenes de zoología.

Entre el montón de figuras esparcidas sobre la mesa, saca el Dr. Solórzano dos monos babuinos y los posa uno frente al otro. Se puede penetrar la verdad geométrica de sus cuerpos antropoides, más caracaterísticamente que en la realidad, sus hocicos tienden al paralelogramo.

Hay en estas figuras algo de arquetípico. Recuerdan el estilizado dibujo y la exactitud anatómica con que el arte de antiguas civilizaciones representó sabiamente los animales.

Al principio no pude creer que fuese resultado de dobleces metódicos, hechos sobre una sola hoja de papel. Sospeché una composición, y que se trataba de un artista consumado, de habilidad muy superior a la de los estilistas que hoy hacen cosas de mucho efecto retorciendo latas, cartones y materias diversas.

Tal vez un Picasso puro, el Picasso de las figuras cubistas elementales, sin entrecruces, sin dibujos intelectualmente superpuestos. También a las milenarias escuelas artísticas del Nilo y de la América precolombina parecen remitirnos los animales de Solórzano.

No pude menos de preguntarle por sus aficiones de arte. Me aseguró que no las tenía, si no era su gusto por la música.

Su profesión era de médico y dentista, recibido en España, su patria.

-Para el dibujo –añadió- soy bastante torpe.

Con esta confesión, sus animales exactos asumieron para mí una importancia enorme. Le supliqué, dudando aún, que desarmara alguna de aquellas “papirolas”, como él las llama.

Tomó un camello, y tirando simultáneamente de su giba y de una pata, lo redujo a cuadrado de papel. Un mono corrió la misma suerte, y una tropical cacatúa. Evidentemente, aquellas curiosas obras de arte estaban hechas sin arte. Eran de belleza automática, determinada por el proceso de los polígonos, con la perfección lógica de un teorema.

EL HALLAZGO DEL POLÍGONO CREADOR

Acaso la ayuda, prácticamente, la ligereza digital adquirida en su profesión de dentista, porque con los tres cuadrados rehízo el camello, el mono y la cacatúa casi con tanta celeridad como los prestidigitadores japoneses la pajarita que aletea. Otro pedazo de papel, nuevo, le sirvió para construir fácilmente, de memoria, un hermoso galgo.

Pero esa destreza digital nada importa para entender el valor matemático de cada figura. Geométrico, rigurosamente, es el sistema con el que se construye.

Para calcular el mérito de su descubrimiento, basta tener en cuenta los siglos que inútilmente han rodado sobre la pajarita clásica. Toda la sabiduría oriental y todo el activo ingenio de Europa no habían logrado conmover los límites de tres o cuatro esquemáticas figuras. Nunca pudo irse más allá. Y sin presumir aún consecuencias que desbordan la geometría, ocurre pensar que ninguno de los teoremas enseñados en el curso de los tiempos, desde Euclides, parece tan espléndido como los innumerables posibles del Dr. Solórzano. Innúmeros, como los tipos del reino animal viviente.

En su sistema hay un gran hallazgo, hecho al cabo de una investigación que comenzó hace unos treinta años, casi desde su infancia: un cuadrilátero que él llama “polígono creador” o “deltoide creador”. Sirve, maravillosamente a primera vista, para construir cualquier figura zoomorfa. (Es el romboide de la cometa que remontan los niños. Romboide lo considera Rey Pastor, enseñando que es el único trapezoide simétrico. Advierte, sin embargo, que otros autores llaman romboide al paralelogramo que no es rombo ni rectángulo.)

Antes de acertar con él, fueron en balde los ensayos y la infinita paciencia del Dr. Solórzano para fundar su sistema.

-Me salían –dice- pocas figuras, tiesas y deficientes. Allí eran los estorbos para hacer las patas de los cuadrúpedos, el cuello de un cisne o las orejas de un mal caballo.

Al fin, con el deltoide, o romboide, obtuvo la armonía, la verdad morfológica, y pudo avanzar victoriosamente en los dominios ilimitados del reino animal.

Ha de advertirse, desde luego, que la importancia del hallazgo no reside en la figura misma, que puede ocurrir y habrá ocurrido muchas veces, en cualquier procura de pajaritas nuevas. Reside en su situación relativa a los dobleces que la preceden.

EL ROMBOIDE PRIMORDIAL

-Voy a construir un loro, para demostrar a usted las consecuencias felices del deltoide creador en la hechura de las papirolas.

Con estas palabras, el Dr. Solórzano dobló diagonalmente un cuadrado de papel y luego hizo cruz con la otra diagonal de polígono. Cuatro triángulos en el cuadrado. Cuatro dobleces más, oblicuos, dejaron la señal de dos romboides opuestos que, mediante plegados necesarios, conducen al gran “deltoide creador”. De este, en el proceso de los dobleces, sale un rombo. Pero un rombo superpuesto a otras figuras y escondiendo cuatro puntas iguales, dispuestas para combinar ángulos y dimensiones. Allí están, ahora, las posibilidades infinitas. De allí sacará el Dr. Solórzano, como podría derivar cualquier otra imagen zoomorfa, el propuesto loro.

Veo sucederse, con los dobleces necesarios, un nuevo romboide, más pequeño e invertido, entre dos triángulos obtusángulos. El pequeño romboide se hace rombo, de pequeñez equivalente, y este rombo convierte los dos triángulos en cuadriláteros cóncavos. Pero en seguida aparece una figura semejante al perfil teórico de un aeroplano o de un ave. Porque son dos triángulos oblicuángulos yuxtapuestos que dan una idea geométrica del pájaro, aún antes de producirse las formas poligonales del ala y de la cola. Pocos dobleces más y el Dr. Solórzano muestra sobre la palma de su mano, con cierto júbilo infantil, un loro de la especie psittacüs elegans.

Cuando los geómetras puedan apreciar su construcción sobre los correspondientes figuras, advertirán que no le aventaja, por exactitud, el resultado de las proporciones conocidas, a pesar de su extraordinaria complicación lineal y de los perímetros numerosos. Y que determina en nuestro ánimo un sentimiento más placentero (si no está prohibido hablar así en el mundo ideal de la geometría) que las demostraciones clásicas. Por ejemplo, buscando alguna de éstas visualmente atractiva, la construcción de una estrella (o polígono estrellado), prolongando los lados de un hexágono hasta su intersección en seis vértices nuevos.

Y el mayor placer viene, acaso, por intuición de consecuencias originales, desconocidas para la milenaria disciplina de la matemática.

¿No se podrá idealmente suprimir, en las figuras de los animales, las cantidades viciosas determinadas por acción del medio, por herencia, azares de la evolución biológica e intereses groseros de los órganos internos? ¿Y no será una pretensión de este orden lo que movió a los artistas, en toda raza y en toda época remota, a estilizar con religioso espíritu, a veces hasta una su titulación exasperada, las imágenes zoomorfas y antropomorfas?

LAS CONSECUENCIA METAFÍSICAS

Problemas formidables, antiguos como la metafísica, descansan sobre las graciosas papirolas del Dr. Solórzano. Construidas mediante un concertado juego de polígonos, si cien mil veces varía el juego, saldrán del simétrico papel cien mil animales diferentes.

La pajarita esquemática pudo considerarse cosa de geometría pura y simple coincidencia su peregrino aspecto de ave. Estas papirolas, en cambio, invitan a ensayar una aproximación de los estudios zoológicos a la geometría. No para hacer cálculos numéricos y descubrir, en los abismos geológicos, ramas perdidas del árbol animal, como propuso el sabio Ameghino, sino para explotar una divina intención geométrica en el canon de las formas vivas. La geometría de los equinodermos salta a los ojos y hasta podría considerarse groseramente sencilla. Esos invertebrados son, en la negra profundidad marina, pentágonos, estrellas, rombos. Sus formas aparecen durante la construcción de cualquier papirola. Para explicar científicamente sus proporciones y simetrías sólo se ha especulado sobre necesidades de nutrición; los pedúnculos de la armazón equinoderma habrían irradiado con económica disposición, para servir la boca central. Pero quizá podría estudiarse cómo, en muchas especies, las favorables condiciones de vida parecen sacrificadas a necesidades geométricas.

Excepto Buffon en su juventud, ninguno de los grandes zoólogos y biólogos tuvo afición a las matemáticas. Y Buffon las abandonó cuando le nombraron director de los Jardines del Rey. Aristóteles, en el país luminoso de la Geometría, dedicó mucha parte de su vida a realizar sus vasta investigaciones zoológicas que fueron estudiadas por Cuvier en sus últimas lecciones.

Pero casualmente el filósofo estagirita, falla curiosa, tenía poca instrucción de geometría, y, para ciertos aspectos de su concepción cosmológica, pedía datos a los versados en dicha ciencia.

Históricamente, para justificarse así la falta de una hipótesis que contemple la existencia de los animales, intervenida, desde el origen de las especies, por verdades geométricas.

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English Translation

THE PAPERFOLDS OF DR. SOLÓRZANO

PAPER POLYGONS THAT OPEN A NEW HORIZON FOR SCIENCE

Before Unamuno, no one ever took paper pajaritas seriously. Making them was always a game and skill that was easily learned. Old educational fun for children, perhaps originating from the Far East, if not from Pharaonic Egypt. One day, Japanese conjurers amazed the theatrical audiences of Europe with a charming novelty in the insignificant history of this game. They showed a square of very white paper, in full light, and then, slightly, turned it into a bird that knew how to flap its wings. It was that the paper square had already made the necessary folds to form the pajarita and for the light; the same excessive light served to hide the mark of the folds, and with the skillful manipulation the bird seemed to immediately come out of the white paper.

But with this, the candid bow tie, equivalent by its mathematical workmanship to the vulgar boats of the same material, did not take on greater importance. Until Unamuno, in his book Amor y pedagogía, contemplated it with eyes of exact science and with metaphysical meditation. He pointed out his perfections and harmonies to the admiration of scholars. He demonstrated on diagrams, how the pajarita, looked at in projection, covers an area equivalent to half of the square in which it is inscribed, because it takes eight triangles of the sixteen that it comprises, "the same as the area of each of the triangles of which it consists is half the area of a square". And how the original square has to be "as perfectly square as it fits", without any other quadrilateral serving, because if it is not square, only a monster would come out of its Folding. Other observations: the lines that go from the crown to the beak and from the knee to the foot, form sides, symmetrically interrupted, of the square, and in addition, the figure is held on three points of an isosceles triangle, "since from the ends of the legs to the point of support of the tail there is the same distance".

Unamuno's meditation then had a brilliant audacity: to invoke the mathematics of the pajarita as an argument against the theory of Darwinian transformism. As the pajarita cannot come out of anything else, and from its square it draws its perfection, so one species could not come from another. Finally, the master of Salamanca assured that the perfection and geometric harmonies of the pajarita were a possible foundation for a future true science.

No one heeded his prophecy. And his subtle observations were attributed only the value of an ingenious dalliance, with no consequences for scientific research. They left the pajarita in its neutral and its trivial condition as a toy.

THE GEOMETRIC ANIMALS OF DR. SOLÓRZANO

That curious prophecy, however, was foreboding. On the paper mathematical bird, a new scientific activity has just been born in our country. Dr. Vicente Solórzano, an unknown sage, has managed to relate the pajarita, not only with the other birds, with the whole class, but also, greatly, with all the animals of creation.

In his house I have seen the best known species come out of a trunk. Animals obtained by him, with rigorous morphological truth, through simple folds of a paper. Folds that are never ingenious or arbitrary, but imposed by geometry, exactly like the lines with which a regular polygon is built. Each animal results in a more or less numerous series of convex and concave polygons. But if there is a mistake, in the irreplaceable succession of the necessary folds, then a monster comes out, like the quadrilateral in which the schematic bow tie is inscribed if it is not a square.

Each of these zoomorphic figures is the solution to a true geometric problem.

It will be necessary to thoroughly explore the system, the science initiated by Dr. Solórzano. Perhaps a connection can be discovered between their paper animals and the formation of beings in the mysterious reality of life. This is the first news of the singular event.

THE THEOREMS OF ZOOMORPHIC FIGURES

On a table is pouring the figures its geometric creator. Birds of diverse families, anthropoids, reptiles, bats, marsupials, horses. A hare was stopped, its legs stretched out in the mock race. The condors surprise by the few edges of the body, beautifully polygonal. The bat is more impressive, more nocturnal than living vampires. And there are white bears whose typical character seems enhanced and explained by anatomical simplification.

All these paper creations – strange thing – communicate a clearer idea of generic harmony and particular structure than the instructive designs, neatly detailed in the zoology volumes.

Among the pile of figures scattered on the table, Dr. Solórzano pulls out two baboon monkeys and poses them in front of each other. You can penetrate the geometric truth of their anthropoid bodies, more caracateristically than in reality, their snouts tend to the parallelogram.

There is something archetypal about these figures. They recall the stylized drawing and anatomical accuracy with which the art of ancient civilizations wisely depicted animals.

At first I couldn't believe it was the result of methodical folds, made on a single sheet of paper. I suspected a composition, and that it was an accomplished artist, of skill far superior to that of the stylists who today do things of great effect twisting cans, cardboard and various materials.

Perhaps a pure Picasso , the Picasso of elementary cubist figures, without crosses, without intellectually superimposed drawings. Also to the millenary artistic schools of the Nile and pre-Columbian America seem to refer us the animals of Solórzano.

I couldn't help but ask him about his art hobbies. He assured me that he didn't have them, if it wasn't his taste for music.

His profession was as a doctor and dentist, received in Spain, his homeland.

"At drawing," he added, "I'm pretty clumsy.'

With this confession, his exact animals assumed enormous importance to me. I begged him, still doubtful, to disarm any of those "papirolas," as he calls them.

He took a camel, and pulling simultaneously his hump and a leg, reduced it to a square of paper. A monkey met the same fate, and a tropical cockatoo. Evidently, those curious works of art were made without art. They were of automatic beauty, determined by the process of polygons, with the logical perfection of a theorem.

THE DISCOVERY OF THE CREATOR POLYGON

Perhaps it helps, practically, the digital lightness acquired in his profession as a dentist, because with the three squares he remade the camel, the monkey and the cockatoo almost as quickly as the Japanese conjurers the flapping bird. Another piece of paper, new, served to easily build, from memory, a beautiful greyhound.

But that digital prowess matters nothing to understand the mathematical value of each figure. Geometric, rigorously, is the system with which it is built.

To calculate the merit of its discovery, it is enough to take into account the centuries that have uselessly rolled on the classic bow tie. All the Eastern wisdom and all the active ingenuity of Europe had failed to move the boundaries of three or four schematic figures. He could never go any further. And without yet presuming consequences that overflow geometry, it happens to think that none of the theorems taught in the course of time, since Euclid, seems as splendid as the innumerable possible ones of Dr. Solórzano. Innumerable, such as the types of the living animal kingdom.

In his system there is a great finding, made after an investigation that began about thirty years ago, almost from his childhood: a quadrilateral that he calls "creator polygon" or "creator deltoid ". It serves, wonderfully at first glance, to build any zoomorphic figure. (It is the rhomboid of the kite that children climb. Rhomboid considers him Shepherd King, teaching that he is the only symmetrical trapezoid. He notes, however, that other authors call the parallelogram that is neither rhombus nor rectangle a rhomboid.)

Before getting it right, the trials and the infinite patience of Dr. Solórzano to found his system were in vain.

"I got out," he says, "few figures, stiff and deficient. There were the hindrances to make the legs of quadrupeds, the neck of a swan or the ears of a bad horse.

At last, with the deltoid, or rhomboid, he obtained harmony, morphological truth, and was able to advance victoriously in the unlimited domains of the animal kingdom.

It should be noted, of course, that the importance of the finding does not lie in the figure itself, which can and will have happened many times, in any procurement of new pajaritas. It resides in its situation relating to the folds that precede it.

THE PRIMORDIAL RHOMBOID

-I am going to build a parrot, to show you the happy consequences of the creator deltoid in the making of papirolas.

With these words, Dr. Solórzano diagonally folded a square of paper and then crossed with the other diagonal of polygon. Four triangles in the square. Four more folds, oblique, left the sign of two opposite rhomboids that, by means of necessary folds, lead to the great "creator deltoid". From this, in the process of folding, a rhombus comes out. But a rhombus superimposed on other figures and hiding four equal points, arranged to combine angles and dimensions. There are, now, the infinite possibilities. From there Dr. Solórzano will get, as any other zoomorphic image, the proposed parrot, could derive.

I see a new rhomboid, smaller and inverted, between two obtuse triangles happening with the necessary folds. The small rhomboid becomes rhombus, of equivalent smallness, and this rhombus turns the two triangles into concave quadrilaterals. But then a figure similar to the theoretical profile of an airplane or a bird appears. Because they are two juxtaposed oblique triangles that give a geometric idea of the bird, even before the polygonal shapes of the wing and tail occur. A few more folds and Dr. Solórzano shows on the palm of his hand, with some infantile joy, a parrot of the species psittacüs elegans.

When the geometers can appreciate its construction on the corresponding figures, they will notice that it is not advantaged, by accuracy, by the result of the known proportions, despite its extraordinary linear complication and the numerous perimeters. And that determines in our mood a more pleasant feeling (if it is not forbidden to speak like this in the ideal world of geometry) than classical demonstrations. For example, looking for some of these visually attractive, the construction of a star (or starry polygon), extending the sides of a hexagon to its intersection at six new vertices.

And the greatest pleasure comes, perhaps, by intuition of original consequences, unknown to the millenary discipline of mathematics.

Is it not ideally possible to suppress, in the figures of animals, the vicious quantities determined by the action of the environment, by inheritance, chances of biological evolution and gross interests of internal organs? And is it not a pretension of this order that moved artists, in every race and in every remote era, to stylize with religious spirit, sometimes even an exasperated title, zoomorphic and anthropomorphic images?

THE METAPHYSICAL CONSEQUENCES

Formidable problems, ancient as metaphysics, rest on the graceful papyrus of Dr. Solórzano. Built by a concerted set of polygons, if the game varies a hundred thousand times, one hundred thousand different animals will come out of the symmetrical paper.

The schematic pajarita could be considered a matter of pure geometry and simple coincidence its pilgrim bird appearance. These papirolas, on the other hand, invite us to try an approach of zoological studies to geometry. Not to make numerical calculations and discover, in the geological abysses, lost branches of the animal tree, as proposed by the sage Ameghino, but to exploit a divine geometric intention in the canon of living forms. The geometry of echinoderms jumps out at the eye and could even be considered grossly simple. Those invertebrates are, in the black sea depth, pentagons, stars, rhombuses. Their shapes appear during the construction of any papirola. To scientifically explain their proportions and symmetries, only nutrition needs have been speculated; the peduncles of the echinoderma frame would have radiated with economical disposition, to serve the central mouth. But perhaps it could be studied how, in many species, favorable living conditions seem sacrificed to geometric needs.

Except Buffon in his youth, none of the great zoologists and biologists had a fondness for mathematics. And Buffon abandoned them when he was appointed director of the King's Gardens. Aristotle, in the luminous country of Geometry, devoted much of his life to conducting his vast zoological investigations that were studied by Cuvier in his last lessons.

But coincidentally the Stagirite philosopher, curiously flawed, had little instruction in geometry, and, for certain aspects of his cosmological conception, asked for data from those versed in that science.

Historically, to justify the lack of a hypothesis that contemplates the existence of animals, intervened, from the origin of species, by geometric truths.

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